Догадка Гольдбаха (версия Тима Туманного)

Теорема1. Для любого целого числа t всегда существуют два равноудаленных от него простых числа.

То есть всегда t=p-c, t=m+c, где p и m - простые числа, c - некоторое целое число 0<c<t.

Например, для 10 равноудаленными являются простые числа 7 и 13.

Если верна Теорема1, то тогда для любого четного числа 2t=p+m, что равносильно утверждению Гольдбаха о том, что всякое четное число всегда можно выразить в виде суммы двух простых чисел.

Начнем с общеизвестного доказанного факта: всякое нечетное число можно выразить в виде разности квадратов двух целых чисел.

Действительно, t2-(t-1)2=2t+1 - общая формула для нечетных чисел.

5=32-22

7=42-32

и т. д.

Легко заметить, что такое разложение не всегда единственно:

15=82-72=42-12

21=112-102=52-22

35=182-172=62-12

То есть видим, что всякое составное нечетное число, имеющее простой множитель p, можно выразить в виде разности квадратов:

a2-(a-p)2=a2-a2+2ap-p2=p(2a-p)

Действительно, число 2a-p - число всегда нечетное, то есть число p(2a-p) и есть некоторое составное нечетное число, имеющее множитель p. При a=p мы получаем квадрат числа p. Ясно, что если число p входит в разложение составного нечетного числа со степенью 1, произведение остальных простых сомножителей всегда имеет вид 2a-p, где a и p - взаимно простые числа. Также ясно, что a-(a-p) не равно 1.

Итак, произведение двух простых чисел p и m есть число нечетное и составное, значит оно может быть выражено в виде разности квадратов двух целых чисел

p·m=t2-c2

По формуле разности квадратов имеем p·m=(t+c)(t-c).

Если положить t=a, c=a-p то как было показано выше t-c не равно 1.

Но по основной теореме арифметики представление числа в виде простых сомножителей единственно, следовательно, если положить p>m, тогда обязательно p=t+c и m=t-c, что равносильно утверждению Теоремы 1.

Итак, мы получили, что действительно для любого целого числа t всегда найдутся два равноудаленных от него простых числа p и m. Следовательно, Теорема Гольдбаха верна.

Дополнение.

Хорошо иллюстрирует вышесказанное метод конечных разностей. Если взять ряд квадратов натуральных чисел и образовать из него ряд, состоящий из разностей последующего квадрата с предыдущим, получим ряд нечетных чисел:

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Легко заметить, что разность квадратов двух чисел разной четности, из которых меньшее отличается от большего более чем на 1, может быть выражена суммой некоторого нечетного количества слагаемых из ряда первых разностей. Например,

42-12=3+5+7

82-52=11+13+15 и т. д.

Ряд первых разностей представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d=2. Сумма n членов арифметической прогрессии выражается как sn=[n(a1+an)]/2, где в данном случае n-ый член арифметической прогрессии имеет вид an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)·2.

Итак, имеем для суммы n членов арифметической прогрессии sn=n·(a1+n-1).

Рассмотрим s3, начиная с a1=3 и далее a1=5.......

s3=3·(3+2)=15=3·5

s3=3·(5+2)=21=3·7

s3=3·(7+2)=27=3·9

То есть получаем ряд составных нечетных чисел кратных 3. То же верно и для s5:

s5=5·(3+4)=35=5·7

s5=5·(5+4)=45=5·9

составные нечетные кратные 5.

Итак, по индукции, составные нечетные числа могут быть выражены разностью квадратов двух чисел разной четности, из которых меньшее отличается от большего более чем на 1.

Итак, мы получили, что действительно для любого целого числа t всегда найдутся два равноудаленных от него простых числа p и m. Следовательно, Теорема Гольдбаха верна.

Впрочем, у серьезного и въедливого читателя может возникнуть вопрос: а не доказали ли мы теорему, обратную данной, а именно звучащую так: каковы бы ни были простые числа p и m, всегда найдется целое число t равноудаленное от них. Это доказывается тривиально. В самом деле, числа p и m - нечетные, значит числа t=(p+m)/2 и с=(p-m)/2 числа целые, откуда автоматически следует p=t+c и m=t-c. Но верно ли обратное,т. е. выполняется ли это для любого t? Обратимся снова к методу конечных разностей. Мы рассматриваем разности квадратов t2 - c2, где числа t и c разной четности. Мы уже видели, что такие разности выражаются суммой некоторого нечетного количества первых разностей и sn=n·(a1+n-1). Ясно, что всегда можно подобрать n равным некоторому простому числу m. С другой стороны, видно, что a1=(c+1)2-c2=2c+1. Тогда имеем sm=m·(2c+1+m-1)=m(2c+m). Из постулата Бертрана имеем, что на промежутке от t/2 до 2t имеется хотя бы два простых числа, одно меньшее, а другое большее t.

Пусть t-c=m простое число. Но с другой стороны t/2+b=m и t/2=c+b, откуда t/2<c. Следовательно, число 2с+m<t+m<2t. Но 2с+m=c+c+m>t, значит число 2c+m лежит в промежутке от t до 2t, то есть там, где по Бертрану существует простое число p. Ясно, что разность между двумя простыми числами p и m всегда равна некоторому четному числу, следовательно всегда найдется такое c, что 2c+m=p.

Итак, имеем, что какое бы целое число t мы не взяли, всегда найдется такое c, что t2-c2 равно произведению двух простых чисел p и m. Далее все ясно.

Я уже знаю, что для доказательства моей последней теоремы можно использовать понятие о квадратичных вычетах и так называемый закон квадратичной взаимности Гаусса. Но можно обойтись и без этих штук. Достаточно того, что как мы уже выяснили, произведение двух простых чисел всегда можно представить в виде разности квадратов. Но с другой стороны имеет место формула:

a2-b2=(a+b)(a-b)=(a-k)2-(b-k)2+2k(a-b)

Тогда (a-b)(a+b-2k)=(a-k)2-(b-k)2.

Пусть даны два простых числа p и m, тогда их произведение представимо в виде разности квадратов a2-b2=(a+b)(a-b), где m=(a-b) и p=(a+b). С другой стороны всегда существует некоторое простое число p1 равное p-2k. То есть имея два простых числа, равноудаленных от числа a, всегда можем получить два простых числа равноудаленных от другого числа a-k.

Например:

(8+5)(8-5)=3·13=72-42+2·3

3·(13-2)= 72-42

3·11=72-42

То есть зная доподлинно исходя из постулата Бертрана, что справа и слева от числа 7 имеются простые числа p<2·7 и m<7 и выбрав p=13 и m=3, получили простые числа 3 и 11 равноудаленные от числа 7.

Еще одно дополнение.

Утверждение Теоремы 1 равносильно следующему: всегда существует некое простое число p, которое при делении на целое число t>p/2 имеет ненулевой остаток с, который равен остатку с от деления числа t на простое число m. Например, остаток от деления 13 на 10 равен 3. С другой стороны остаток от деления 10 на 7 тоже равен 3. 10 - это и есть число , равноудаленное от 7 и 13. Особый случай представляет собой тройка чисел 3, 7 и 11. Скажем, остаток от деления 7 на 3 раввен 1, а 11 на 7 - равен 4. Но мы можем записать 7=2·3+1=3+4, То есть и здесь приходим к одинаковому остатку 4. Существование одинаковых остатков следует из элементарных положений теории делимости и условия m<t.